نظرية الاحتمالات ذات الحدين هي إحدى النظريات المهمة حيث يكون توزيع الاحتمال ذي الحدين هو ما يسمى بالتوزيع الهامشي، وهو توزيع لتجربة عشوائية لها نتيجتان فقط، إحداهما هي نجاح التجربة الاحتمالية والنتيجة الأخرى هي فشل التجربة بشرط عدم تأثر احتمال النجاح بتكرار التجربة.
جدول المحتويات
خصائص التوزيع الثنائي
- إذا كانت التجربة تتكون من أكثر من تجربة واحدة، ولكن إذا كانت تتكون من تجربة واحدة، فهي تجربة توزيع برنولي.
- التجارب مستقلة عن بعضها البعض، مما يعني أن احتمال النجاح ثابت p واحتمال الفشل هو q.
- إنه توزيع منفصل عند التعامل مع التجارب التي تتكرر n مرة.
- متوسطها = np، وتباينها = npq، وانحرافها المعياري = الجذر التربيعي للتباين.
- كل هذه المحاولات يجب أن تكون متساوية ومستقلة.
- احتمال النجاح ثابت لكل محاولة.
اقرأ هنا عن: علاقة الرياضيات بالعلوم الأخرى؟
نظرية الاحتمالية ذات الحدين
- كل محاولة تحصل على نتيجة واحدة فقط، إما نجاح أو فشل، وبالتالي تكون النتيجة ثابتة.
- احتمال النجاح (p) + احتمال الفشل (q) = 1، q = 1-p.
- تعد المحاولات n مستقلة عن بعضها البعض، لذا فإن X هو عدد المحاولات الناجحة من n من المرات.
- حيث X هو متغير ذو الحدين وتوزيعه الاحتمالي هو التوزيع ذي الحدين.
قانون ذو الحدين
- نفترض أن P (x) = P (X = x)، حيث x هو عدد المحاولات الناجحة.
- عدد المحاولات الفاشلة (nx).
- احتمالية الحدث هي أن الأحداث مستقلة عن بعضها البعض لأن الاحتمال يساوي منتج احتمالات النجاح على النحو التالي: P (a Ո b) = P (a) × P (b).
- عدد طرق اختيار نجاح x من n محاولات هو أي مجموعة من مرات nx.
- يسمى التوزيع الاحتمالي X ذي الحدين إذا كانت دالة الاحتمال الخاصة به على الشكل
- = P (x)
- إذا تم إلقاء نرد 180 مرة، يكون متوسط عدد الأرقام التي تم الحصول عليها 6 180 × (= 30)، ويكون التباين 180 × () × () = 25، والانحراف المعياري هو
مثال 1
- في اختبار يتكون من 10 أسئلة ولكل سؤال 4 إجابات، إذن واحد منهم فقط صحيح والثلاثة الآخرون خاطئون.
- عندما نقرر اختيار الإجابة الصحيحة بشكل عشوائي من الإجابات الأربعة لأننا لا نعرف الإجابة الصحيحة.
- تمثل كل إجابة محاولة ناجحة (25) أو خطأ (0.75).
- عدد المحاولات n هو 10، وبما أن التجارب مستقلة، فإنها تحقق التوزيع ذي الحدين.
المثال 2
- كيس يحتوي على 3 كرات خضراء، 6 كرات حمراء مسحوبة و 5 كرات مسحوبة، ما هو احتمال أن تصبح الكرات المسحوبة 3 كرات حمراء؟
- سيكون الحل
- n = 5، t = 3، a = = حيث n هو عدد المحاولات و a هو احتمال النجاح في التجربة.
- ثم l (x = 3) = [ ] ×))
مثال 3
- كيس يحتوي على 3 كرات حمراء و 7 كرات بيضاء. لذا إذا قمت برسم 5 كرات متتالية مع العودة، فما هو احتمال حصولك على 4 كرات بيضاء.
- الحل
- ن = 5، ر = 4
- ل (ب) = 0.7، ل (ح) = 0.3
- ل (4) = [ ] ) ()
المثال 4
- أطلق صياد 10 طلقات على هدف وكان احتمال إصابة الهدف في كل مرة (0.9)، أوجد احتمال إصابة الهدف مرة واحدة على الأقل.
- الحل
- ن = 10، س = 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 1 درجة.
- α = 0.9
- ل (مرة واحدة على الأقل) = 1 – لتر (0) = 1 – () () () = 1- ()
ولا تنس قراءة مقالنا: الفرق بين النظرية والفرضية والحقيقة
توزيع بواسون بعد عالم الرياضيات الفرنسي سيمون دي بواسون
إنه أحد التوزيعات غير المستمرة المهمة جدًا في العديد من التطبيقات الإحصائية ويسمى توزيع الأحداث النادرة. مثال على ذلك هو عدد الوحدات المعيبة في إنتاج كبير لمصنع معين وعدد المكالمات الواردة من مقسم هاتف في فترة زمنية محددة.
نموذج الانحدار السالب ذي الحدين
- حيث تأتي من نظرية الاحتمال ذي الحدين.
- وهو أحد النماذج العددية المستخدمة لتمثيل بعض الظواهر والمواقف الطبية والهندسية والمالية والجيوفيزيائية والطبيعية مثل المطر والأعاصير والزلازل لأنه لا يمكن التعبير عنها في نماذج منتظمة تعتمد على توزيع واحد.
- تحتاج هذه الظواهر إلى الجمع بين توزيعين (مثل Poisson و Kama) للحصول على توزيع أكثر مرونة في الظواهر المعقدة والمجتمعات غير المتجانسة.
- كما أنه يعتبر ذو الحدين السالب كأحد عوامل نظرية الاحتمالات ذات الحدين وهو مهم للغاية في الحياة، وعلم الأحياء، وعلوم البيئة، والعلوم الزراعية، والهندسة، وكذلك العلوم البكتيرية حيث أنه أساس النموذج الإحصائي للبيانات العددية.
- لأن المتوسط الحسابي والتباين لتوزيع بواسون متساويان، كلما زاد المتوسط ، تزداد قيمة التباين، وتسمى هذه الخاصية التشتت المحايد للبيانات ذات توزيع بواسون.
- في حال كان التباين أكبر من متوسط البيانات، والذي يتميز بخاصية التشتيت المفرط، فإننا نلجأ إلى استخدام النموذج ذي الحدين السالب، المعروف باسم نموذج Poisson-Kama المختلط، لأنه يناسب حالة خاصية فرط التشتت. .
- على الرغم من أن النموذج ذي الحدين السالب هو مثال على نظرية الاحتمالية ذات الحدين المستمدة من نموذج المركب التقليدي (Poisson-Kama).
- ومع ذلك، يمكن أن يكون النموذج السالب ذي الحدين جزءًا من توزيعات الأسرة الأسية ذات المعلمة الواحدة والمخصصة للنماذج الخطية العامة.
- يتم الوصول إلى قيمة سالبة ذات حدين عندما يكون التباين أكبر من متوسط البيانات.
- هناك أربع طرق مختلفة: طريقة الخانات الأكبر وطريقة المربعات الصغرى المتكررة وطريقة الأرقام الموزونة وطريقة المربعات الصغرى الموزونة.
- تختلف معلمات الطرق ذات الحدين السالبة لتهدف إلى أفضل طريقة.
- عندما تم سحب عينة عشوائية بسيطة من 257 حالة لحديثي الولادة مصابين بتشوهات خلقية، تم تسجيلها في دائرة صحة بابل.
- تم استخدام البرامج الإحصائية لمعرفة معاملات النموذج ذي الحدين السالب لتحديد أفضل طريقة.
- أوضحت النتائج أن طريقة إعادة توزين المربعات الصغرى التكرارية هي أفضل طريقة حيث أنها تحتوي على أدنى متوسط للخطأ التربيعي MSE وأعلى معامل تحديد.
- في عام 1974، أجرى العالم (بولمر) دراسة باستخدام مجموعتين من البيانات الحقيقية، المجموعة الأولى تتضمن عدد الحيوانات الحرشفية الأجنحة التي تم اصطيادها بمصيدة خفيفة، والمجموعة الأخرى بما في ذلك عدد الفراشات من نوع ميلانو التي تم جمعها.
- بمقارنة البيانات من المجموعتين من حيث ملاءمتها للتوزيعات (ذات الحدين السالب، توزيع بواسون، التوزيع الطبيعي لوغاريتمي مختلط بواسون)، وجد أن البيانات تناسب التوزيع ذي الحدين السالب بشكل أفضل من باقي التوزيعات الممكنة المقدرة.
- أيضًا، في عام 1987، استخدم العالم (Nelder) نموذجًا سالب ذي الحدين لتحليل مصائد الحشرات في عمل تصميم القطاع المتداخل ودرس الخصائص الإحصائية لوظيفة شبه الاحتمالات الموسعة بناءً على هذا التصميم.
- أيضا في عام 2005 استخدم (Hilbe) التحليل السلبي ذي الحدين المتسلسل المستخدم لآلية مكافحة الآفات الحشرية وتقليل مخاطرها.
اقرأ هنا: التعبير عن الموضوع لنظرية فيثاغورس
وبالتالي، فإن تسمية ذات الحدين ترجع إلى حدوث حالتين، إحداهما جيدة أو غير جيدة، متطابقة أم لا، معيبة أم لا، وتعتبر دالة التوزيع ذات الحدين مفهومًا عامًا للتوسع ذي الحدين، لذلك يتم استخدامها في حل العديد من المشاكل وليس فقط ذو أهمية كبيرة في الرياضيات.