قانون مساحة وحجم الاسطوانة

يعد قانون مساحة وحجم الأسطوانة أحد القوانين الأساسية للرياضيات ويعتبر قاعدة يجب فهمها ومعروفة بجميع جوانبها في مختلف مجالات الهندسة، لأنها بعيدة كل البعد عن أن تكون قوانين رياضية. موقع مرتبط بالعديد من الصناعات مثل صناعة الجرار البلاستيكية والجرار الطبية ومستحضرات التجميل.

تعريف الاسطوانة

قبل أن نتحدث عن قانون المساحة وحجم الأسطوانة، من الضروري البدء بتعريف الأسطوانة، والتي تسمى في اللغة الإنجليزية “الأسطوانة”، وهي من أشهر الهيئات الهندسية ويتم تعريفها في الرياضيات على أنها جسم ثلاثي الأبعاد يتكون سطحه من مجموعة من النقاط على مسافة محددة من جزء مستقيم يسمى المحور. الاسطوانة، وهي في شكل آخر عبارة عن مستطيل يدور دورة كاملة واحدة حول أحد جوانبها، ويسمى محور الدوران محور الأسطوانة، وتتميز الأسطوانة بدائرتين تحيطان بالمادة الصلبة على جانبيها، وكل منهما تسمى القاعدة، والجزء المستقيم المتعامد على القاعدتين يسمى ارتفاع الأسطوانة.[1]

كيفية حساب مساحة الضلع والاسطوانة الكلية

ينقسم قانون مساحة الأسطوانة إلى جزأين، جانبي وإجمالي، ويحسب وفقًا للقوانين الحسابية التالية[2]

• قانون مساحة الأسطوانة الجانبية تسمى “منطقة السطح المنحنية” بالإنجليزية، وهي محيط القاعدة × الارتفاع، وهي مكتوبة بالرموز على النحو التالي 2 × l × r × ص.
• قانون المساحة الكلية للأسطوانة هو مجموع مساحة الدائرتين ومساحة المستطيل، أي مجموع مساحة الجانب ومساحة قاعدتين وتحسب على النحو التالي 2 × ل × ص × (ص + ص).

أمثلة لحساب المساحة الكلية والجانبية للأسطوانة

لتطبيق القوانين المذكورة أعلاه، يجب تقديم بعض الأمثلة الحسابية، بما في ذلك ما يلي[3]

• المثال الأول احسب المساحة الكلية لأسطوانة نصف قطرها 5 سم وارتفاعها 7 سم

بتطبيق القانون الرياضي 2 xlxrx (r + r).

نحن نجد

(2ë × 5 × (5 + 7

مشتمل

باستبدال ثابت pi بـ 3.14، نحصل على (2x 3.14 x 5 x (5 + 7).

إذن، المساحة الكلية للأسطوانة هي 376.8 سم 2.

المثال الثاني احسب نصف قطر الأسطوانة التي تبلغ مساحتها الإجمالية 2136.56 مترًا مربعًا وارتفاعها 3 أمتار.

إذا استبدلنا البيانات في القانون المشار إليه سابقاً، نجد ما يلي

2136.56 = 2 × ل × ناق × (ناق + 3)

عوّض بقيمة pi عند 3.14.

نجد ما يلي

2136.56 = 2 × 3.14 × Naq × (Naq + 3)

340.22 = 3 ف + 2 ف

0 = 340.22 – 3q + 2q

و لهذا

Naq = 17 م

المثال الثالث احسب المساحة الجانبية لأسطوانة قطر قاعدتها 56 مترًا وارتفاعها 20 مترًا.

إذا علمنا أن نصف القطر يساوي قسمة القطر على 2، واستبدال البيانات بالقانون المذكور سابقًا، نجد ما يلي

المساحة الجانبية = 2 × ل × 28 × 20

وعليه تبلغ المساحة الجانبية 3516.8 متر مربع.

تستخدم الاسطوانة

يتضمن استكشاف قانون مساحة وحجم الأسطوانة التوقف عند استخداماتها المتعددة، والتي يمكن تلخيصها في الوظائف التالية[4]ا [5]

• الهندسة الميكانيكية تتكون معظم المحركات من أسطوانات تضخ الوقود أو الماء.
• ضغط الغاز بما في ذلك ضغط الهواء، ويسمى الاسطوانات الهوائية.
• صناعة الأجهزة والآلات مثل المركبات وآلات البناء والهندسة الميكانيكية.

حساب حجم الاسطوانة

الجزء الثاني يتكون من قانون مساحة وحجم الاسطوانة، قانون حساب الحجم الذي يسمى “حجم الاسطوانة” باللغة الإنجليزية ويعبر عن سعة الاسطوانة وكمية المادة التي تحتويها، وهذا الحجم يمكن حسابها باستخدام مساحة قاعدتها مضروبة في ارتفاعها ويتم كتابتها في الصيغة الرياضية. كما يأتي أيضًا lx r² x p.[6]

أمثلة لحساب حجم الاسطوانة

بعد تقديم قانون الحساب وشرح مفهوم حجم الأسطوانة، تتبع أمثلة تطبيقية لحساب حجم الأسطوانة[6]

• المثال الأول احسب حجم أسطوانة نصف قطرها 8 سم وارتفاعها 15 سم.

بتطبيق قانون الحساب نجد الآتي

حجم الاسطوانة = lx 8 2 x 15

لذلك يبلغ حجم الأسطوانة 3016 م 3.

• المثال الثاني احسب نصف قطر أسطوانة بسعة 440 سم 3 وارتفاعها 35 سم، مع العلم أن باي يساوي 22/7.[7]

باستبدال البيانات بقانون الحساب، نحصل على ما يلي

440 = L × Nq² × 35

إذا استبدلنا pi الثابت بقيمته، نحصل على

Naq² = (440 × 7) / (22 × 35) = 3080/770 = 4

إذن، نصف القطر يساوي 2 سم.

يتطلب قانون مساحة وحجم الأسطوانة فهم المفهوم الهندسي والرياضي للمادة الصلبة الأسطوانية، حيث يمكن اشتقاق قانون الحساب من المادة الصلبة ثلاثية الأبعاد، وهذا القانون هو أحد أسس الرياضيات في المرحلتين المتوسطة والثانوية التعليم.

1. ^wikiwand.com، اسطوانة 17/12/2024
2. ^byjus.com، سطح الاسطوانة 17/12/2024
3. ^storyofmathematics.com، سطح اسطوانة – شرح وأمثلة 17/12/2024
4. ^britannica.com، مكبس واسطوانة 17/12/2024
5. ^wikiwand.com، اسطوانة هيدروليكية 17/12/2024
6. ^unitutors.com، حجم الاسطوانة 17/12/2024
7. ^byjus.com، حجم الاسطوانة 17/12/2024