قانون حساب الوتر في مثلث قائم الزاوية

يمكن رؤية قانون حساب الوتر في مثلث قائم الزاوية من خلال نظرية فيثاغورس ، التي توضح العلاقة بين أضلاع المثلث والوتر.

مثلث قائم

• المثلث القائم الزاوية هو أحد أنواع المثلثات التي توجد فيها زاوية قائمة واحدة قياسها 90 درجة. أطول ضلع في المثلث يسمى الوتر وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة ، ويطلق على ضلعي المثلث اسم أرجل المثلث.

أنظر أيضا: قانون محيط المثلث بالرموز

الوتر في مثلث قائم الزاوية

• تنص نظرية فيثاغورس على أنه “في المثلث القائم الزاوية ، يكون مربع الوتر مساويًا لمجموع مربعي أطوال الضلعين المجاورين للزاوية القائمة”.
• مما سبق نستنتج أن مربع طول الوتر في مربع الزاوية القائمة يساوي مربعي أطوال الضلعين في الزاوية القائمة.

مثال تصويري

• في المثلث القائم أ ، ب ، ج

من هذا ندرك أن وتر المثلث هو AB ، وبالتالي يمكننا تسمية كل جانب من أضلاع المثلث بحرف على النحو التالي:

• AB = C ، A = B ، BC = A
• أي ، b c2 + c2 = ab2 ، أو يمكن أن يُقال أيضًا على النحو التالي: a2 + b2 = c2.
• نظرية فيثاغورس مفيدة في إيجاد طول أحد ضلعي المثلث القائم الزاوية عند معرفة أطوال ضلعي المثلث الآخرين.
• على سبيل المثال: إذا كان أ = 4 ، ب = 3.
• من هذا نستنتج أن a2 + b2 = 32 + 42 = 25 = c2.
• مما سبق نستنتج أن ج = 5.

مثال حي آخر

• في مثلث قائم الزاوية قاعدته 4 سم وارتفاعه 3 سم ، ما هو وتر المثلث؟

الحل:

• مربع الوتر = مربع طول الضلع الأول + مربع طول الضلع الثاني.
• الوتر المربع = 16 + 9 = 25 سم.
• بعد الحصول على الجذر التربيعي ، نستنتج أن مربع الوتر = 5 سم.

مثال حي آخر

• إذا كان هناك مثلث حيث طول ضلعه الأول 5 سم ، والضلع الثاني 3 سم ، والوتر 7 سم ، فلا بد من توضيح أن المثلث قائم.

الحل:

سوف نتبع نظرية فيثاغورس في الحل على النحو التالي:

• مربع الوتر = مربع طول الضلع الأول + مربع طول الضلع الثاني.
• ومربع الوتر = 49
• مربع الضلع الأول = 25
• مربع الضلع الثاني = 9
• بالتعويض عن هذا يعطينا المعادلة التالية: 49 = 25 + 9 ، لذا 49 = 34.
• بالتعويض بالقانون ، ندرك أن مربع ضلعي المثلث لا يساوي مربع الوتر ، ونستنتج أن المثلث غير صحيح.

معكوس نظرية فيثاغورس

يقول معكوس نظرية فيثاغورس:

• (إذا كان مربع طول الضلع الأطول في المثلث يساوي مجموع مربعات أطوال الضلعين الآخرين ، فإن هذا المثلث قائم الزاوية ، والزاوية القائمة هي الزاوية المقابلة لأطول ضلع ، والجانب الأطول هو الوتر.)

معرفة قانون جيب التمام لطريقة الزاوية لحساب طول الوتر في المثلث

• يشير مصطلح جيب التمام لزاوية أو ظل إلى نسب مختلفة بين زوايا المثلث القائم أو بين أضلاعه ، ويمكن تعريف جيب الزاوية في المثلث القائم على أنه طول الضلع المقابل للزاوية بعد القسمة على وتر المثلث.
• تحتوي الآلة الحاسبة على زر مخصص لاستخدام الجيب المسمى الخطيئة ويمكن استخدامه بالضغط عليه ثم كتابة قياس الزاوية المطلوب للعثور على جيبه بالدرجات.
• من الضروري معرفة قانون الجيب لتسهيل حساب الوتر في مثلث قائم الزاوية ، حيث ينص القانون على: / ga c).
• يجب أن يتم استخدام الحروف أ، ب، ج في تسمية أضلاع المثلث، ومن الضروري أن يتم إطلاق حرف ج على أطول الأضلاع في المثلث وهو الوتر، وإطلاق حرف أ على الضلع الذي نعلم طوله، والضلع الآخر نطلق عليه حرف ب، وذلك بهدف تبسيط عملية فاتوره.
• يجب تسمية الأحرف أيضًا بالزوايا في المثلث ، بشرط أن يسمى الحرف C بالزاوية المقابلة للوتر ، وهي الزاوية القائمة ، ويسمى الحرف A الزاوية المقابلة للضلع A ، ويسمى الحرف B زاوية الضلع المقابل B.

احسب وتر المثلث القائم الزاوية باستخدام النسب المثلثية

تعد النسب المثلثية مفيدة في حساب أضلاع المثلث القائم عندما تعرف قياس أي زاوية في مثلث غير قائم الزاوية وطول أحد أضلاعه. فيما يلي شرح لكيفية استخدامه:

• الجيب = الضلع المقابل للزاوية / الوتر.
• cos = الضلع المجاور للزاوية / الوتر.
• tan = الضلع المقابل للزاوية / الضلع المجاور للزاوية.

أنظر أيضا: مساحة المثلث الأيمن و متساوي الأضلاع

مثال توضيحي للاستخدام

• إذا كان abc مثلثًا قائمًا عند b ، وطول الضلع bc يساوي 7 سم ، ودرجة الزاوية c = 53 ° ، فأوجد قياس الوتر ÔÌ والضلع AB.

الحل:

• يمكن حساب طول الضلع AB من مماس الزاوية ، والضلع AB المقابل للزاوية c.
• من هذا نستنتج: za c = ab / bc = za 53 = ab / 7.
• AB = 7 × 1.33 = 9.29 سم.

وبالتالي ، يمكن معرفة الوتر بطريقة جيب التمام أو بطريقة نظرية فيثاغورس ، وسنقوم الآن بحساب طوله بطريقة جيب التمام على النحو التالي:

• = الضلع المجاور للزاوية ج / الوتر.
• cos 53 = قبل الميلاد.
• الوتر = 7 / وتر.
• الوتر = 0.6 / 7 = 11.7 سم.

مثال حي آخر

• في مثلث قائم الزاوية ، إحدى زواياه يساوي 67 درجة والضلع المقابل لتلك الزاوية طولها 24 سم ، أوجد طول الوتر.

الحل:

هنا ، باستخدام طريقة جيب التمام للزاوية ، يمكن حساب طول الوتر على النحو التالي:

• الجيب = الضلع المقابل للزاوية / الوتر.
• الخطيئة 67 = 24 / وتر المثلث.
• الوتر = 26.1 سم.

مثال حي آخر

• إذا كانت زاوية المثلث القائم الزاوية 5 ° والوتر 6 cm ، فما طول الضلع المقابل للزاوية 50 °؟

الحل:

نظرًا لأن لدينا طول الوتر وهنا نحتاج فقط لحساب طول الضلع المقابل للزاوية ، يمكننا استخدام طريقة جيب التمام بالخطوات التالية:

• الجيب = الضلع المقابل للزاوية / الوتر.
• sin 50 = الضلع المقابل للزاوية / 6.
• الضلع المقابل للزاوية 50 = 4.6 سم.

مثال حي آخر

• إذا كان هناك مثلث قائم الزاوية حيث طول الوتر 10 سم وضلع واحد 8 سم ، فما طول الضلع الآخر؟

الحل:

في هذه المعادلة ، نتبع نظرية فيثاغورس لحساب طول ضلع المثلث باستخدام الخطوات التالية:

• بالتعويض بالقانون a2 + b2 = c2 ، نستنتج أن 82 + b2 = 102.
• إذن ، b2 = 36 ومن الجذر التربيعي نستنتج أن b = 6 cm.

مثال حي آخر

• إذا كان هناك مثلث قائم أطوال أضلاعه 9 سم والوتر 15 سم ، فما طول الضلع الآخر من المثلث؟

الحل:

• تطبيق نظرية فيثاغورس ، التي تنص على أن مربع طول الوتر = مربعان من طول ضلعي المثلث.

بالتعويض في القانون نستنتج ما يلي:

• 152 = 92 + طول الضلع الثاني يساوي 2.
• بطرح 81 من كلا الطرفين ، نحصل على الضلع الثاني 2 = 144 طويلًا.
• بعد أخذ الجذر التربيعي ، نحصل على طول الضلع الثاني = 12 cm.

انظر أيضًا: تعبير لمحيط المثلث

بهذا تنتهي مقالتنا حول قانون حساب الوتر في مثلث قائم الزاوية ، حيث تعرفنا على الطرق الرئيسية لحساب الوتر ، ونأمل أن تستمتع بالمقال.