بحث عن حالات تشابه المثلثات

عند البحث عن حالات تشابه المثلثات، يطلب المعلمون باستمرار من الطلاب البحث عن حالات تشابه المثلثات لأن علم المثلثات هو أحد أهم الموضوعات للطلاب في الفصول التحضيرية التي تتضمن الحديث عن كل ما يتعلق بالمثلثات سواء كانت نظريات أو قوانين أو رسومات وما إلى ذلك.، وسنتحدث عن ذلك بمزيد من التفصيل في المقالة التالية.

التعرق الثلاثي وأنواعه

المثلث عبارة عن شكل ثلاثي مغلق يتكون من 3 جوانب و 3 رؤوس و 3 زوايا، ومجموع الزوايا 180 درجة.

1_ متساوي الأضلاع

• يكون المثلث متساوي الأضلاع إذا كانت قياسات زواياه وأطوال أضلاعه متساوية، بحيث يكون قياس الزاوية 60 درجة.

2_ الزاوية اليمنى

• إنه مثلث بزاوية رأسية 90 درجة.

3_ متساوي الساقين

• إنه مثلث له ضلعان متساويان والزوايا بين قاعدتهما متساوية.

4_ الضلوع المختلفة

• وهو مثلث لا يحتوي على زوايا أو جوانب متساوية في القياس والطول، وهو من نوعين:

1. مثلث بزاوية حادة أي قياسه أقل من 90 درجة، كأن قياس إحدى الزوايا 70 درجة والأخرى 60 درجة والأخيرة 50 درجة، إذن الإجمالي 180 درجة.
2. مثلث بزاوية منفرجة، أي أن قياسه أكبر من 90 درجة، وكأن قياس إحدى الزوايا 100 درجة، والأخرى 50 درجة، والأخيرة 30 درجة، وبالتالي فإن المجموع الكلي هو 180 درجة.

ما هو تشابه المثلثات؟

• يتشابه مثلثا إذا تساوت زاياهما المتقابلة، مما يعني أنه إذا كان أحدهما ناتجًا عن الآخر، إما بجعله أصغر أو أكبر، فإن المثلثين متشابهان.
• تصبح أطوال أضلاعها متناسبة، أي أن النسبة بين أطوال ضلعي المثلثات متساوية، ويشير هذا الرمز إلى تشابه المثلثات (~).

الحالات الشائعة لتشابه المثلثات

• تكون المثلثات متشابهة إذا كانت أطوال الأضلاع المتوافقة معها متناسبة.
• تتشابه المثلثات إذا كانت زاويتان داخل المثلث الأول تساوي زاويتين داخل المثلث الثاني.
• إذا كانت إحدى الزوايا في مثلث ما تساوي زاوية في مثلث آخر، وكانت أطوال الأضلاع بين تلك الزوايا متناسبة أيضًا، فإن المثلثين متشابهان.

نتيجة تشابه المثلثات

• النسبة بين كل مساحة من مناطق المثلثات المتشابهة = (النسبة بين أي أطوال من الأضلاع المتناظرة) 2.
• نسبة محيط المثلثات المتشابهة = (نسبة أحد أطوال الأضلاع المتناظرة فيها)

مثال يوضح تشابه المثلثات

• إذا كان هناك مثلث منفرج ABC وكان هناك جزء من الخط يسمى A`B موازٍ للضلع ABB، فإن المثلثين متشابهين لأن الزاويتين بين القطعة المستقيمة والضلع المتوازي متطابقتان وهذا أحد حالات تشابه المثلثات.

حالات التشابه مع المثلثات القائمة

بالإضافة إلى ما ورد عن تشابه المثلثات، تتشابه المثلثات القائمة في الحالات التالية:

1_ بزاوية حادة

• عندما تتطابق زاويتان حادتان في مثلثين مختلفين قائمًا، يكون المثلثان متشابهين.

2_ الساق والوتر

• إذا كانت نسبة أطوال الوترين مساوية لنسبة أحد أطوال الأرجل داخل مثلثين قائم الزاوية، فإنهما متشابهان.

3_ بالأرجل

• إذا كان لمثلثين قائم الزاوية أرجل متقابلة متساوية الطول، فإن كلا المثلثين متشابهان.

ولا تتردد في قراءة المزيد في: بحث عن تأثير الزوايا المختلفة على دقة القياسات

عدد من الخصائص الهامة للمثلثات المتشابهة

هناك بعض خصائص المثلثات المتشابهة:

• من الممكن القول أن مثلثين متشابهان من خلال رؤية الشكل المتشابه بغض النظر عن حجمهما.
• كل المثلثات ذات الأضلاع المتساوية مثلثات متشابهة.
• إذا كان هناك زاويتان متساويتان في مثلثين، فإن الزاويتين الثلاثة متساويتان في كلاهما.
• ضمن مثلثات متشابهة، كل زاوية تساوي الزاوية المقابلة لها.
• كل مثلث يشبه نفسه وهذا ما يسمى الخاصية الانعكاسية.
• إذا كان المثلث مشابهًا لمثلث آخر، فمن الطبيعي أن يكون المثلث الثاني مشابهًا للمثلث الأول، وتسمى هذه الخاصية خاصية التناظر.
• إذا كان المثلث مشابهًا لمثلث آخر وكان هذا المثلث مشابهًا لمثلث آخر، فإن المثلث 1 يشبه المثلث 3 وتسمى هذه الخاصية متعدية.
• من الممكن استخدام خصائص التشابه للمثلثات عند حساب قياسات أطوال الأضلاع المجهولة في أحد المثلثات.

اقرأ أيضًا هنا: بحث عن المتتاليات الهندسية والمتسلسلات وأشكالها

أمثلة على حالات تشابه المثلثات

من المهم تطبيق المعلومات النظرية عمليًا، وبالتالي نقدم الأمثلة التي تم حلها لحالات تشابه المثلثات على النحو التالي:

1_ المثال 1

مثلثا أطوال أضلاعه 12 و 5 و 2 سنتيمتر والآخران 24 و 10 و 4. هل المثلثان متماثلان؟

• يتم حساب النسبة بين أطوال أضلاعهم، وإذا كان واحدًا، فإن المثلثين متشابهين. إذا قسمت الأطوال على بعضها البعض، تحصل على 2 في الكل، لذا فهما متشابهان.

2_ المثال 2

مثلثين قائم الزاوية بطول متقابل للساق، قياس 7.2 سم و 10.5 سم و 3 سم على التوالي، هل يتشابهان وما هي العلاقة بين قياسات أطوال الساق؟

• 5/7 = 1.5 و 3/2 = 1.5 لذا فإن النسبة هي نفسها لذا فإن المثلثات متشابهة.

3_ المثال 3

مثلثين متشابهين أطوال أضلاع أحد المثلث هي 6، 7، 8 سم، والمثلثان الآخران أ، ب يساويان 6.4 سم. ما أطوال الأضلاع الأخرى؟

• نظرًا لأن كلا المثلثين 1 و 2 متشابهان، فإن نسبة قياسات أطوال الساق هي نفسها، 8 / 6.4 = 1.25.
• بالتعويض في النسبة 6 / أ = 1.25 يعطينا a = 4.8 سم، والتعويض مرة أخرى في ب، 7 / ب = 1.25 يعطينا a = 5.6 سم.

4_ المثال 4

مثلث بأطوال أضلاعه 4، 2، 5 سم، ومثلث بأطوال أضلاعه 2.8، 1.4، 3.5، والتي تتوافق مع طول ضلع 1 في المثلث. هل هم نفس الشيء

• إذا قمنا بحساب النسبة بين جميع أطوال أضلاع كل من المثلثين، فسنجد أنها تساوي = 0.7، وبالتالي فإن المثلثين متشابهان.

5_ المثال 5

xy y هو مثلث قائم الزاوية يمثل x، وإذا كان xy متعامدًا على الوتر y، فكم عدد المثلثات المماثلة التي تم إنشاؤها في هذا الشكل؟

• أولًا، المثلثان xyz و yyx لهما زاويتان متطابقتان ومتطابقتان، الزاوية القائمة x والزاوية y، لذا فهما متشابهان.
• ثانيًا، المثلثات XYZ و HXZ هي نفسها كما في الحالة السابقة، لذا فهما متشابهان.
• وبالتالي فإنه يخلق 3 مثلثات متشابهة وهي xyz و yz و yx.

6_ المثال 6

2 مثلثين متشابهين لهما زاويتان قائمتان، طول قاعدة المثلث الأول 6 سم والآخر 20 سم، والارتفاع 9 سم، فما هو قياس ارتفاع المثلث الآخر؟

• نظرًا لأن كلا المثلثين متشابهان، فإن النسبة بين أطوال أضلاعهما واحدة: 6/20 = 3.33.
• إذا عوضنا عن النسبة الناتجة بين أطوال أضلاعه، فإن ارتفاع المثلث 2 يساوي 30 سم.

أدعوك أيضًا للتعرف على: البحث عن عالم فلك اكتشاف علوم الجغرافيا الفلكية

البحث النهائي عن حالات تشابه المثلثات

في النهاية انتهينا من شرح استقصاء للطلاب حول حالات تشابه المثلثات ومن المهم ملاحظة أن علم المثلثات موضوع مهم وهو مهم في حياتنا اليومية، لذلك من المهم التركيز على حالات التشابه مع تركز. الجمل والخصائص من أجل التمكن من الوصول إلى الدرجات العليا.