الضرب الداخلي للمتجهات يتحقق من الخاصية الترابطية، صفحة المقالة تقدم لك الضرب الداخلي للمتجهات التي تتحقق من الخاصية الترابطية، فهذه من أهم العمليات في الرياضيات، الضرب الداخلي للمتجهات، والتي من خلالها يمكننا إجراء العديد من العمليات الحسابية عمليات على ناقلات مختلفة.
جدول المحتويات
الضرب الداخلي للناقلات يتوافق مع قانون الجمعيات
سنطرح سؤالاً هامًا: هل الضرب الداخلي للمتجهات يفي بخاصية الارتباط؟
لذلك، نجيب: عملية الضرب الداخلي للمتجهات لا تحقق الخاصية الترابطية، لذا فهذه المعلومات خاطئة ؛ وذلك لأن الخصائص الجبرية المتعلقة بشكل خاص بعمليات الضرب الداخلية هي:
- وظيفة الاستبدال.
- وممتلكات التوزيع.
- خاصية الضرب لعدد حقيقي.
على سبيل المثال، اقرأ هنا: هل العنصر المحايد في عملية الضرب هو صفر؟
عمليه الضرب
- من أهم العمليات في الرياضيات عملية الضرب، حيث تُعرف عملية الضرب بالرمز (×).
- هذه العملية هي الإضافة المتكررة لرقم واحد لعدد محدد من المرات بالنسبة إلى الرقم الآخر الذي يتم ضربه به.
- يجب أن نشير إلى أهم القواعد في هذه العملية وهي (علامة الرقم).
- إذا ضربنا رقمًا بعلامة سالبة في رقم بعلامة سالبة، تكون النتيجة رقمًا موجبًا.
- إذا تم ضرب رقمين بعلامات مختلفة، تكون النتيجة سالبة.
سنتحدث الآن عن الخصائص الرياضية الرئيسية لعملية الضرب.
ما هي الخصائص الرياضية الرئيسية لعملية الضرب؟
- منذ زمن الإغريق، اكتشف علماء الرياضيات القوانين والقواعد التي يمكن تطبيقها على الأعداد، خاصة فيما يتعلق بالضرب.
- لقد حددوا خمس خصائص رئيسية لا تزال صحيحة حتى يومنا هذا.
على الرغم من وضوح هذه الخصائص وبساطتها، إلا أنها مهمة للغاية لحل العديد من العمليات الحسابية المعقدة، وسنشرح الآن هذه الخصائص:
1_ الملكية المشتركة
- وهو محور مناقشتنا اليوم، حيث أن الخاصية الترابطية معروفة بأنها تنطبق على الضرب.
- حيث يتم تجميع الأرقام، مما يعني أن جميع الأرقام موجودة بين قوسين، وكما نعلم فإن أحد القواعد العامة للرياضيات هو ترتيب العمليات الحسابية.
- العملية الأولى هي ما يوجد داخل الأقواس، وعلى الرغم من أن عملية الضرب لها حالة خاصة، إلا أن وجود الأقواس لا يؤثر عليها والنتيجة واحدة.
- على سبيل المثال: (axb) xc = (cxb) xa.
- هذا يعني أن ترتيب الضرب غير مهم، لذا يمكننا فقط كتابة المعادلة بهذه الصورة: (axbxc).
2_ خاصية التبادل
يتم تعريف قانون الضرب التبادلي من خلال نصه: إذا ضربنا رقمين أو أكثر معًا، فلن تتأثر النتيجة بغض النظر عن ترتيب الأرقام، على سبيل المثال:
axb = bxa، وأن mxnxe = nxexm = exnxm
3_ خاصية التوزيع
تتشكل هذه الخاصية في الضرب عن طريق توزيع الرقم خارج الأقواس وضربه في جميع المصطلحات الموجودة داخل الأقواس، على سبيل المثال:
أ (ب + ج) = أب + ج أو ج (أ + ب) = أ + ب ج.
وتجدر الإشارة إلى أنه يمكن استخدام هذه الميزة لتخفيف صعوبة أي معادلة رياضية معقدة، سواء كانت توسيع المعادلات الرياضية أو تقييم المعادلات الرياضية.
4_ خاصية لاغية
هذه الخاصية هي إحدى قواعد التمييز بين الرقم صفر ؛ يعتمد ذلك على حقيقة أن نتيجة ضرب أي رقم في صفر هي صفر، بغض النظر عن قيمة أو علامة الرقم.
5_ خاصية الهوية
تعتمد هذه الخاصية على حقيقة أنه عند ضرب الرقم في 1، تكون النتيجة هي نفس الرقم بغض النظر عن قيمة أو علامة الرقم، على سبيل المثال:
- إذا ضربنا 4 و 2، تكون النتيجة 8، أي رقم آخر يختلف عنهما.
- هذا يعني أن الرقمين غيرا هوياتهما والنتيجة هي 8، بينما إذا ضربنا الرقم 4 في 1، تكون النتيجة 4.
- هذا يعني أن الرقم 8 احتفظ بهويته حتى بعد الضرب.
ولا تنس قراءة مقالنا: فحص موجز للضرب الداخلي
عملية الضرب الداخلي
يستخدم الضرب الداخلي في العديد من التطبيقات المتنوعة، والتي من خلالها يمكننا تحديد طول المتجه، أو الزاوية بين متجهين، أو تحديد بعض القيم الفيزيائية الموجودة في أنواع مختلفة من المشاكل.
تشمل مفاهيمها أنها تكاثر النواقل بين بعضها البعض واستخراج أشياء كثيرة، كما أنها تستخدم في كل مما يلي:
- عمل.
- بيان القدرة.
- المجال المغناطيسي.
يطلق عليه في الفيزياء (ضرب الاتجاه) ؛ ويرجع ذلك إلى تفرده بخصائص تميزه عن الضرب العادي.
يعطي هذا الضرب شكل متجه متعامد عند المستوى الذي يقع تحته المتجهان، على عكس ما يحدث في الضرب القياسي، والذي يكون حاصل ضربه كمية قياسية، مما يجعله مختلفًا عن الآخرين.
يعبر هذا المتجه عن سلسلة من الأرقام تتكون عموديًا وأفقيًا.
الفرق بين الضرب الداخلي والضرب الموجه
- هناك فرق كبير جدًا بين الضرب الداخلي والضرب التبادلي نظرًا لأن الضرب التبادلي يحدث بين متجهين وحاصل ضربهما هو نتاج إسقاط أحدهما في المتجه الآخر.
- لذلك، يمكننا حسابها باستخدام مجموع حاصل ضرب الإحداثيات المقابلة التي تقع بين متجهين في فضاء ثلاثي الأبعاد، أي عملية ثنائية.
- حيث تكون النتيجة متجهًا متعامدًا مع المستوى الذي ينتمي إليه، ونرى أيضًا أن الضرب التبادلي يحدث بين متجهات الفراغ.
- نتيجة الضرب المزدوج ليست رقمًا كما هو الحال في الضرب الداخلي، بل متجه ؛ بمعنى، يجب أن يكون المتجه عموديًا على المستوى الذي يحدث فيه الضرب.
- هناك بعض الأسماء الأخرى للضرب الداخلي، مثل: (الضرب الاتجاهي، توجيه موجه، الضرب التبادلي).
خصائص عملية الضرب الداخلي للناقلات
للضرب الداخلي العديد من الخصائص التي تجعله فريدًا، والتي سنذكرها أدناه:
هناك العديد من الخصائص الجبرية للضرب المنتظم، وهي تنطبق أيضًا على الضرب الداخلي.
بشكل أساسي، هذه الخصائص موجودة في كل عملية من عمليات الضرب، وهي:
- وظيفة الاستبدال.
- وممتلكات التوزيع.
- خاصية الضرب لعدد حقيقي.
وهذا يتعلق بما ذكرناه في بداية المقال عن خواص الضرب الداخلي.
- بعض الخصائص تنطبق فقط على الضرب الداخلي.
- على سبيل المثال: خاصية الضرب الداخلي، أي عندما يُضرب المتجه في متجه آخر يكون حجمه صفرًا.
- الضرب المتجه هو إحدى الخصائص الفريدة في الضرب الداخلي.
- لذلك، كما ذكرنا سابقًا، هناك علاقة بين طول المتجه والمنتج الداخلي.
- يتم كتابة المتجه من حيث المصادفة الخطية للمتجهين المعياريين للوحدتين، ومن الممكن كتابة المتجه من حيث المصادفة الخطية لمتجه الوحدة القياسي.
- يمكن أيضًا كتابتها كمجموعة، بشرط أن يتم ضرب المتجه القياسي للوحدة في اتجاه كل منها في المكون.
- هناك العديد من الفرضيات التي وضعها العلماء والتي تحدد الأحجام من حيث المطابقة الخطية.
كما أدعوك لتتعلم: أولويات العمليات الحسابية في الرياضيات
تحقق عملية الضرب الداخلي للمتجهات الخاصية الترابطية، ومن خلال هذه المقالة تمكنا من معرفة الفرق بين الضرب الداخلي والضرب العادي والضرب التبادلي، وكذلك الخصائص العامة والجبرية لكليهما.