كيفية حساب مساحة المخروط

من أجل حساب مساحة المخروط، يجب أولاً تحديد بعض المفاهيم الضرورية وفهمها بالكامل.
الارتفاع: هو العمود الذي يقف بين مركز القاعدة الدائرية والرأس المدبب للمخروط.
- بحيث تشكل الزاوية القائمة مع القاعدة الدائرية.
نصف القطر: المسافة من مركز ومحيط القاعدة الدائرية.
الارتفاع الجانبي أو المائل: هذا هو المسافة من أي نقطة على محيط القاعدة الدائرية إلى الطرف المدبب.
تُعرَّف مساحة المخروط بأنها عدد الوحدات المربعة التي تغطي الجزء الخارجي من المخروط.
عند حساب مساحة أو حجم المخروط، تنطبق قوانين المخروط القائم، وليس المخروط المائل.
المخروط الأيمن له قاعدة دائرية، والخط الذي يربط بين قمة المخروط ومركز القاعدة عمودي على القاعدة.
- يمكن إيجاد المساحة الكلية للمخروط بإيجاد مجموع المساحة الجانبية للمخروط ومساحة القاعدة.
ومساحة القاعدة تمثل مساحة الدائرة، القاعدة لها شكل دائري وتساوي (π × n2)، n تعني نصف القطر.
المساحة الجانبية تساوي (π × نصف القطر × الطول القطري أو الارتفاع الجانبي).
يمكن حساب الارتفاع الجانبي أو الطول القطري للمخروط باستخدام الصيغة التالية.
- الارتفاع الجانبي للمخروط = (مربع الارتفاع + مربع نصف القطر).

مما سبق نستنتج أن المساحة الكلية للمخروط هي كالتالي:

المساحة الكلية للمخروط = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة.
أيضًا، المساحة الكلية للمخروط = π × n × l + π × نق 2، وهي متساوية
إجمالي مساحة المخروط = π × n2 + × n × (ع 2+ نق 2) √.

بأخذ π نق كعامل مشترك، تصبح المعادلة:

إجمالي مساحة المخروط = π × n × (n + (ع + نق) √
بينما:
π: ثابت عددي وقيمته العددية 22/7، 3.14.
Nq: نصف قطر القاعدة الدائرية للمخروط.
ج: هو ارتفاع المخروط.
L: الطول القطري أو الارتفاع الجانبي للمخروط.

قد تكون مهتمًا أيضًا بـ: موضوع حول مساحة المربع

صيغة حساب مساحة القطع الناقص

ارتفاع الجانب (ل): يساوي: l² = m² + (m1 – m2) ²، ومنه: l = (m² + (m1-m2) ²) √.

وجه القطع الناقص = π × (n1 + n2) × l.

مساحة القطع الناقص = π × (l × (m1 + m2) + (m1) ² + (m2) ²).
حجم القطع الناقص = (1/3) × π × × (((نق 1) ² + (نق 2) ² + (نق 1 × نق 2)) ؛ أين:
- N1: نصف قطر القاعدة السفلية.
- N2: نصف قطر القاعدة العلوية.
L: الارتفاع المائل أو الجانبي للجدعة.
π: الثابت Pi، وهو ثابت عددي يساوي 3.14 أو 22/7.
- ج: ارتفاع الجذع.

أمثلة لحساب مساحة المخروط

المثال الأول

ما مساحة مخروط ارتفاعه ٨ وحدات ونصف قطره ٦ وحدات؟
الحل: مساحة المخروط = π × n × (نق + (ع² + نق²) √) ويمكن حسابها كالتالي: مساحة المخروط = ((8² + 6²) √ + 6 ) × π × 6.
إذن: مساحة المخروط = π × 96 سم².

المثال الثاني

المخروط ناقص قطر قاعدته العلوية ٢ سم، وقطر قاعدته السفلية ٦ سم، وارتفاعه ١٠ سم. ما قيمة كل من: المساحة الجانبية، المساحة الكلية والحجم؟

الحل: لإيجاد كل من المساحة الجانبية والمساحة الكلية، يجب أولاً إيجاد الارتفاع الجانبي (l).
هذا كالتالي: احسب الارتفاع الجانبي كما يلي: l = (p² + (m1-m2)) ²√ = 10² + (6-2) ²√ = 10.77 cm.
وجه القطع الناقص = π × (n1 + n2) × l.
- إذن: المساحة الجانبية للقطع الناقص = 3.14 × (6 + 2) × 10.77 = 270.69 سم².
المساحة الكلية = المساحة الجانبية + × (م 1) ² + × (م 2) ².
- إذن: المساحة الإجمالية = 270.69 + (3.14 × 6² + 3.14 × 2²) = 396.35 سم².
حجم المخروط = (1/3) × π × × (((نق 1) ² + (نق 2) ² + (نق × 2)).
- إذن: حجم المخروط = (1/3) × 3.14 × 10 × (6² + 2² + (6 × 2)) = 544 سم مكعب.

أيضا المثال الثالث

ما المساحة الكلية لمخروط نصف قطره 6 أمتار وارتفاع جانبه 10 أمتار؟
الحل: مساحة المخروط = π × n² + π × نق × l.
يمكن حسابها على النحو التالي: مساحة المخروط = 3.14 × 6² + 3.14 × 6 × 10 = 301.44 م².

المثال الرابع

المخروط الدائري قطر قاعدته 3√4 والزاوية بين الارتفاع وارتفاع الضلع 30 درجة، فما هي المساحة الكلية للمخروط؟
- الحل: المساحة الكلية للمخروط = π × م × (ن + ل)، ولحسابها نحتاج إلى قيمة: نصف القطر وارتفاع الضلع، ويمكن حسابهما على النحو التالي:
احسب نصف القطر بقسمة القطر على 2 ؛ نصف القطر = القطر / 2 = 3√4 / 2، ما يساوي 3√2 سم.
احسب الارتفاع الجانبي، وهو وتر المثلث القائم الزاوية حيث يشكل نصف القطر إحدى رجليه.
وارتفاع الساق الأخرى والارتفاع الجانبي للوتر وبتطبيق قانون جيب الزاوية: sin (x) = المقابل / الوتر.
- ينتج عن هذا: sin (30) = 3√2 / l، منها l = 3√4 cm.
عوّض بالقيم السابقة في المساحة الإجمالية لقانون المخروط لتحصل على: المساحة الكلية للمخروط = π × n × (sq + l) = 3.14 × 3√2 × (3 2 + 3√ 4) = 113.04 سم².

وأخيرًا المثال الخامس

إذا كان حجم مخروط دائري قائم 9856 سم 3 وقطره (أقطار) قاعدته 28 سم، فما ارتفاعه (ع) والارتفاع الجانبي (ل) والمساحة الجانبية؟
- الحل: حجم المخروط = (1/3) × π × m² × p مما يعطي الارتفاع.
- على النحو التالي: بما أن القطر = 28 سم، فإن نصف القطر (ن) = القطر / 2 = 14 سم.
التعويض في قانون الحجم إذن: 9856 = (1/3) × 22/7 × ² 14 xp، بما في ذلك: الارتفاع = (9856 × 3 × 7) / (22 × 14 × 14).
بما في ذلك: الارتفاع = 48 سم. ارتفاع الجانب = (n² + h²) √، أي: l = 14² + 48² √ = 50 cm. المساحة الجانبية = π × n × L
- إذن: المساحة الجانبية = 22/7 × 14 × 50 = 2200 سم².

المثال السادس

ورقة على شكل نصف دائرة بقطر 2.5 بوصة عندما تعلم أنه تم تحويلها إلى مخروط قائم.
- احسب المساحة الجانبية لهذا المخروط؟
الحل: مساحة سطح المخروط الأيمن = مساحة قطاع الدائرة. المساحة الجانبية للمخروط الأيمن = (180 ÷ 360 °) × π × م².
مساحة ضلع المخروط الأيمن = 1/2 x π x m².
أيضا وجه المخروط الأيمن = 2 / p².
بما أن nn = القطر ÷ 2، لذا فإن n = 3.14، يتم تعويض نصف القطر في القانون.
- مما يلي: المساحة الجانبية للمخروط الأيمن = 2 / (π × 3.14 × 3.14). المساحة الجانبية للمخروط الأيمن = π9298 سم² (الإجابة بدلالة π).
المساحة الجانبية للمخروط = 4.9298 × 3.14. المساحة الجانبية للمخروط = 15.4796 سم².

أنظر أيضا: موضوع تعبير لمنطقة شبه منحرف

وأخيرا تعرفنا على قوانين حساب مساحة المخروط وبعض الأمثلة على تطبيق هذه القوانين.

أيضًا، أخبرنا في التعليقات للإجابة على أسئلتك وطلباتك المتعلقة بهذا الموضوع.

أنواع المخروط

1- مخروط دائري قائم

2- مخروط مائل

3 مخروط مقطوع

خصائص المخروط

المخروط له ثلاثة أبعاد: