أولويات العمليات الحسابية في الرياضيات

الأولويات الحسابية عندما يُطلب منك تبسيط شيء مثل “4 + 2 × 3” في الرياضيات، فإن السؤال الطبيعي هو: كيف أفعل ذلك؟ لأن هناك خياران!

حيث يمكنني الجمع أولاً والنتيجة هي: 4 + 2 × 3 = (4 + 2) × 3 = 6 × 3 = 18، أو يمكنني الضرب أولاً والنتيجة هي: 4 + 2 × 3 = 4 + (2 × 3) = 4 + 6 = 10، ما هي الإجابة الصحيحة؟ اتبع صفحة المقالة للتعرف على أولويات العمليات الحسابية في الرياضيات.

الأولوية الحسابية

يبدو أن الإجابة تعتمد على الطريقة التي تنظر بها إلى المشكلة، لكن لا يمكننا أن نمتلك هذا النوع من المرونة في الرياضيات.

لا تعمل الرياضيات إذا لم تكن متأكدًا من الإجابة أو إذا كان بالإمكان حساب نفس التعبير بالضبط.

لذلك يمكنك الوصول إلى إجابتين مختلفتين أو أكثر، طالما أن النتيجة واحدة.

لتوضيح هذا الالتباس، لدينا بعض قواعد الأسبقية أو الأولوية التي تم وضعها منذ القرن السادس عشر على الأقل.

يُعرف باسم “ترتيب العمليات” وهذه العمليات هي الجمع والطرح والضرب والقسمة والأس والتجميع.

ترتيب هذه العمليات هو كما يلي: “الأقواس، الأس، الضرب والقسمة، الجمع والطرح”.

يمكن وصف ذلك على النحو التالي: فوز الأقواس على الأس، الذي يتفوق على الضرب والقسمة (لكن الضرب والقسمة بنفس الترتيب).

الضرب والقسمة لهما الأسبقية على الجمع والطرح (كلاهما بترتيب أدنى)، بمعنى آخر، الأسبقية هي:

• الأقواس (تبسيط الأرقام الموجودة بين قوسين).
• الأس.
• الضرب والقسمة (من اليمين إلى اليسار للأرقام العربية ومن اليسار إلى اليمين للأرقام الإنجليزية).
• الجمع والطرح (من اليمين إلى اليسار للأرقام العربية ومن اليسار إلى اليمين للأرقام الإنجليزية).

اقرأ أيضًا: ما هي الأعداد المنطقية في الرياضيات؟

اتجاه حل المشكلة

إذا كانت لديك مجموعة من العمليات من نفس الرتبة، فاعمل من اليسار إلى اليمين.

على سبيل المثال، “15 ÷ 3 × 4” ليس “(15 ÷ 3) × 4 = 5 × 4” ولكن “15 ÷ (3 × 4) = 15 12”.

لأنك إذا انتقلت من اليسار إلى اليمين، ستجد أن الانقسام حدث أولاً.

إذا لم تكن متأكدًا، فاختبرها على الآلة الحاسبة المبرمجة بالتسلسل الهرمي لترتيب العمليات.

على سبيل المثال، إدخال التعبير أعلاه في آلة حاسبة بيانية يعطي:

20 = 15 3 × 4

باستخدام التسلسل الهرمي أعلاه، نرى هذا في السؤال “4 + 2 × 3” في بداية هذه المقالة.

الخيار الثاني (الذي تبلغ قيمته 10) هو الإجابة الصحيحة لأننا نحتاج إلى الضرب قبل القيام بعملية الجمع.

سبب ترتيب العمليات الحسابية

تم تطبيع ترتيب العمليات لتجنب الالتباس، ولكن يمكن لنظام PEMDAS أن يخلق ارتباكًا خاصًا به.

يميل بعض الطلاب أحيانًا إلى تطبيق التسلسل الهرمي كما لو كانت جميع العمليات على نفس “المستوى” (ببساطة من اليسار إلى اليمين)، ولكن غالبًا لا تكون هذه العمليات “متماثلة”.

غالبًا ما يتم حل المشكلات من الداخل إلى الخارج بدلاً من حل المشكلات من اليسار إلى اليمين.

نظرًا لأن بعض أجزاء التمرين غالبًا ما تكون “أعمق” من أجزاء أخرى، فمن الأفضل تفسير ذلك ببعض الأمثلة:

• بسّط التعبير: 32 + 4

الحل: في هذا المثال، نحتاج إلى تبسيط المصطلح مع الأس قبل محاولة إضافة الرقم 4. يمكن وصف ذلك على النحو التالي:

13 = 9 + 4 = 32 + 4، إذن التعبير المبسط هو 13

مثال

• بسّط التعبير: 2 (1 + 2) + 4

الحل: في هذا المثال، يجب علينا أولًا تبسيط الأعداد الموجودة داخل الأقواس قبل أن نتمكن من تجاوز الأس.

وعندها فقط يمكننا إضافة الرقم 4 بعده، ويمكن وصف ذلك على النحو التالي:

13 = 9 + 4 = 2 (3) + 4 = 2 (1 + 2) + 4، لذا فإن التعبير المبسط هو 13

مثال آخر

• بسّط المجموع 2 [(1 – 2-) 1-] + 4

لا يجب أن أحاول عمل هذه الأقواس المتداخلة من اليسار إلى اليمين لأن هذه الطريقة عرضة للخطأ.

بدلاً من ذلك، لنحاول العمل من الداخل إلى الخارج: أولاً، نبسط الأرقام الموجودة بين الأقواس المتعرجة.

ثم نبسط ما بين الأقواس المربعة، وعندها فقط نعتني بالتربيع.

بعد ذلك، يمكننا أخيرًا إضافة الرقم 4، والذي يمكن كتابته على النحو التالي:

2 [(1 – 2-) 1-] + 4

2[(3-) 1-] + 4 =

2[3] + 4 =

9 + 4 =

13 =

استخدام الأقواس المربعة (“[” و “]”أعلاه)، بدلاً من الأقواس.

الأقواس المتعرجة والأقواس المتعرجة (الأحرف “{” و “}”) في الأقواس المتداخلة تستخدم للمساعدة في تتبع الأقواس المستخدمة مع الأقواس.

أيضًا، يتم استخدام أحرف التجميع المختلفة فقط للراحة، وهذا مشابه لما يحدث في جدول بيانات Excel عند إدخال صيغة بأقواس:

يتم ترميز كل مجموعة من الأقواس بالألوان حتى تتمكن من تحديد الأزواج:

أداة

• بسّط التعبير: (4/3 + 2 / 3-) 4

الحل: نقوم أولاً بتبسيط الأرقام الموجودة بين قوسين، والتي يمكن وصفها على النحو التالي:

(4/3 + 2 / 3-) 4

أيضا (3/4 + 2-) 4 =

أيضا (3/2) 4 =

3/8 =

إذن، قيمة التعبير المبسط هي 3/8

مشاكل التبسيط

تنبع معظم مشاكل التبسيط بترتيب العمليات من الأقواس المتداخلة والأسس وعلامات الطرح.

في الأمثلة التالية نشرح كيفية التعامل مع هذه الأنواع من التعبيرات.

مثال

• بسّط التعبير: 2 ÷ [(3 – 6) 2 – 4] 3-4

الحل: نبسط التعبير من الداخل إلى الخارج: أولاً الأقواس، ثم الأقواس المربعة، مع التأكد من أن علامة الطرح على الرقم 3 أمام الأقواس تقابل 3.

وبمجرد أن نضع القطع معًا نقوم بالقسمة متبوعة بإضافة الرقم 4. ويمكن وصف ذلك على النحو التالي:

2 ÷ [(3 – 6) 2 – 4] 3-4

2 ÷ [(3) 2 – 4] 3-4 =

أيضا 2 ÷ [6 – 4] 3-4 =

خلال 2 ÷ [2-] 3-4 =

أيضًا 2 ÷ 6 + 4 =

في النهاية يساوي 3 + 4 =

7 =

إذن، قيمة التعبير المبسط هي 7

مثال آخر

• بسّط التعبير: 5 ÷ 2 (3-8) 3 – 16

الحل: تذكر أنك تحتاج إلى تبسيط الأقواس الداخلية قبل إجراء التربيع.

بالنسبة إلى 2 (3-8) يختلف عن 32-82، ويمكن وصف ذلك على النحو التالي:

5 ÷ 2 (3-8) 3-16

يساوي أيضًا 5 2 (5) 3 – 16 =

5 ÷ (25) 3-16 =

بينما 5 75-16 =

ونصل إلى 15 – 16 =

1 =

إذن، القيمة المبسطة للتعبير هي 1.

اخترنا لك: ما هي الخوارزميات في الرياضيات؟

المتغيرات في العمليات الحسابية

إذا تعرفت على المتغيرات والجمع بين المصطلحات، فقد ترى أيضًا تمارين مثل هذه:

• بسّط المبلغ: [(14x + 5 [6 – (2x + 3

الحل: إذا واجهت مشكلة في أخذ عملية طرح من خلال قوسين، فيمكنك تحويلها إلى ضرب سالب 1 في الأقواس (لاحظ اللون الأحمر المميز “1” أدناه):

[(14x + 5 [6 – (2x + 3

أيضًا [(14x + 5[6 – 1(2x + 3 =

[14x + 5[6 – 2x – 3 =

بينما يكون [14x + 5[3 – 2x =

14x + 15 – 10x =

4x + 15 =

وبهذا تكون القيمة المبسطة للمقدار هي 4x + 15

مثال

• بسّط المقدار: {2x – [3 – (4 – 3x)] + 6x} –

الحل: تذكر تبسيط كل خطوة والجمع بين المصطلحات المتشابهة متى وأينما يمكنك:

{2x – [3 – (4 – 3x)] + 6x} – =

أيضًا 2x – 1[3 – 1(4 – 3x)] + 6x} – =

{2x – 1[3 – 4 + 3x] + 6x} – =

خلال {2x – 1[– 1 + 3x] + 6x} – =

{2x + 1 – 3x + 6x} – =

أيضًا إذا كانت {2x + 6x – 3x + 1} – =

حيث {5x + 1} – =

5 س – 1- =

وبالتالي، فإن القيمة المبسطة للتعبير 5x – 1-

التعبيرات التي تحتوي على صيغ كسرية

ومع ذلك، يمكن أن تسبب التعبيرات الكسرية أيضًا ارتباكًا طالما أنك تعمل على البسط (على سبيل المثال، في الأعلى).

والمقام (أي الأرضية) بشكل منفصل حتى يتم تبسيطهما بالكامل أولاً وبعد ذلك فقط إضافة (أو تقليل) إذا أمكن، يجب أن يكون جيدًا.

وعند إضافة صورة كسرية إلى حد آخر أو طرحها منه، سواء كان كسرًا أو أي شيء آخر.

تأكد من تبسيط شكل الكسر وتقليله تمامًا قبل محاولة الجمع أو الطرح.

• بسّط التعبير: (1-4) + 5/2 (2 + 1) + (2 – 3)

الحل: يعمل هذا بنفس الطريقة التي تعمل بها الأمثلة السابقة ؛ تحتاج فقط إلى معالجة البسط بشكل منفصل عن المقام.

لذلك تحصل على جزء يمكنك (ربما) تبسيطه، والذي يمكن وصفه على النحو التالي:

(1-4) + 5/2 (2 + 1) + (2-3)

أيضا (3) + 5/2 (3) + (1) =

8/9 + 1 =

يساوي أيضًا 8/10 =

وأخيرًا 4/5 =

وبالتالي، فإن القيمة المبسطة للتعبير هي 4/5

اقرأ أيضًا: أهمية الجبر في الرياضيات

كانت هذه لمحة موجزة عن أولويات العمليات الحسابية في الرياضيات. نأمل أن تكون المقالة مفيدة لك، ولمزيد من موضوعات الرياضيات، يمكنك تصفح قسم الرياضيات على موقع مقص لفهم أفضل!