الكسور العشرية المنتهية والمتكررة، يفهم الكثير منا الكسور العشرية كأرقام موزعة على جانبي الفاصلة العشرية، لكن يمكننا إهمال التمييز بين الأنواع المختلفة منها، مثل ب- الأعداد العشرية المحدودة واللانهائية، بما في ذلك الأعداد المتكررة، لذلك سنتعرف على الأعداد العشرية المحدودة والمتكررة.
جدول المحتويات
ما هو الرقم العشري؟
- الكسر العشري هو الرقم الذي يحتوي على فاصلة عشرية تفصل بين العدد الصحيح فيه وأجزائه العشرية، ويستند هذا النظام العشري إلى الرقم عشرة ويمكن من خلاله التعبير عن جميع الأرقام، بغض النظر عن قيمتها.
- يتكون كل رقم عشري من ثلاثة أجزاء رئيسية ؛ أولهما هو العدد الصحيح على يسار الفاصلة العشرية، ويمكن أن يكون العدد الصحيح “واحدًا” أو أكثر، والأجزاء العشرية على يمين الفاصلة العشرية، وقيمتها أقل من واحد.
- يمكن التعبير عن هذا الجزء العشري في شكل كسور، وهنا نشير إلى أن هذا الرقم موجود على يسار الفاصلة العشرية إذا كان أقل من واحد ؛ نكتب الرقم صفر على يسار الفاصلة العشرية، على سبيل المثال الرقم مكتوب وليس 525 عددًا صحيحًا.
ولا تنس قراءة مقالنا: ما هي الأعداد المنطقية في الرياضيات؟
منازل عشرية
- إذا قمت بتحريك العلامة العشرية من اليمين إلى اليسار، فإن قيمتها تزيد عشرة أضعاف والعكس صحيح ؛ بالانتقال من اليسار إلى اليمين، تقل القيمة بمقدار عشرة أضعاف حيث يتم وضع أعداد الآحاد والعشرات والمئات وما إلى ذلك.
- على سبيل المثال، الرقم 590 هو الرقم ثمانية في خانة الآحاد والرقم واحد في خانة العشرات، مما يعني أن قيمتها تزيد جهة اليسار وتنخفض جهة اليمين، وينطبق الشيء نفسه على الجزء العشري.
- خمسة أكبر من تسعة وتسعة أكبر من صفر لأن خمسة هو عشرة وتسعة على مائة وهكذا. أي أن قاعدة الجمع والطرح تنطبق على كل من الأعداد الصحيحة والكسور العشرية.
إنهاء الكسور العشرية وتكرارها
1- الكسور العشرية المنتهية
- يحتوي على عدد محدد من الأرقام على يمين الفاصلة العشرية أو في الجزء العشري بحيث يمكن حسابه، ويمكن كتابة العلامة العشرية المنتهية كرقم منطقي أو ككسر (أ / ب).
- على سبيل المثال، يشير الرقم 234 إلى وجود عدد معين من الأرقام على يمين الفاصلة العشرية المكونة من ثلاثة، أي ثلاثة أرقام، وبالتالي يمثل عددًا عشريًا محددًا، كما هو الحال مع الرقم 49.6793 ؛ يحتوي على أربعة منازل محددة يمكن عدها.
ولا تتردد في قراءة مقالنا حول الموضوع: ما هي الأرقام الحقيقية؟
2- الكسور العشرية المتكررة
- هناك نوع ثاني من الأعداد العشرية، الأعداد اللانهائية، والتي تحتوي على عدد لا نهائي من الأرقام على يمين الفاصلة العشرية، وبالتالي لا يمكن تحديد عدد المنازل العشرية فيها.
- من الكسور العشرية اللانهائية ؛ الأعداد العشرية غير المتكررة، والتي تحتوي على أعداد لا نهائية على يمين الفاصلة العشرية، أي لا يمكن عدها، بالإضافة إلى حقيقة أن هذه الأرقام لا تتكرر بانتظام.
- أحد الأمثلة الأكثر شيوعًا على الكسور العشرية اللانهائية هو النسبة الثابتة المستخدمة كأساس لحساب محيط أي دائرة ومساحتها، وقيمتها … 3.1415926، ونلاحظ أن الأرقام الموجودة على يمين العلامة العشرية لا تتكرر في شكل ثابت.
- نوع آخر من الأعداد اللانهائية ؛ إنها الكسور العشرية المتكررة حيث تتكرر الأرقام الموجودة على يمين العلامة العشرية بانتظام وبشكل لا لبس فيه، مثل على سبيل المثال، الرقم 909090 حيث يتكرر الرقم 90 ثلاث مرات على يمين الفاصلة العشرية.
- وهذا النوع من التكرار العشري يمكننا كتابته بطريقتين ؛ الأول مكتوب كما في المثال، والثاني من خلال كتابته بهذه الصورة 90، لذلك نكتب التسعين مرة واحدة بخط أفقي عبرها للإشارة إلى تكراره.
اقرأ عن هنا: أكمل معلومات القسمة المطولة
كيف نحول عدد عشري محدود إلى كسر؟
- لتحويل عدد عشري منتهي إلى كسر ؛ يجب أن يكتب بالصيغة التالية (الرقم العشري / 1)، ثم يضرب البسط والمقام في الرقم عشرة أو مضاعفاته، اعتمادًا على عدد الأرقام على يمين العلامة العشرية.
- على سبيل المثال، إذا أردنا تحويل الرقم إلى كسر عادي، نكتبه بالصيغة (عشري / 1) ويصبح (55./1)، ولأن على يمين الرقمين توجد فاصلات، فإننا نضرب البسط والمقام بالرقم مائة والنتيجة هي (55/100).
تحويل الكسور العشرية المتكررة إلى كسور
- يتم تحويل رقم الفترة إلى كسر وفقًا للقانون التالي (الجزء الدوري المكرر من الجزء العشري / الرقم 9 مكررًا مع عدد أماكن التكرار)، إذا أردنا تحويل الرقم 424242 إلى كسر منتظم، على سبيل المثال .
- نحدد جزء التكرار، وهو 42، ثم نقسمه على العدد المكرر 9 على عدد أماكن التكرار ؛ أي ثلاث مرات، لأن الرقم 42 يتكرر ثلاث مرات، فالنتيجة هي (42/999).
تحويل الأعداد العشرية إلى أعداد مكررة
- نحتاج أحيانًا إلى تقريب الأرقام العشرية إلى يمين الفاصلة العشرية واقتطاعها، سواء كانت أعدادًا محدودة أو لا نهائية، مما يشير إلى عملية تدوير هذه الأرقام، ويتم ذلك ببساطة عن طريق كتابة عدد معين من الأرقام.
- لتنفيذ هذه العملية، يجب اتباع خطوتين ؛ الأول هو تحديد المكان العشري الذي يكفي لنا عند الكتابة، والثاني هو النظر إلى الرقم الموجود على يمين هذا المكان وإذا كان أقل من خمسة، فإننا نحتفظ بالمكان الذي نريد تقريبه كما هو.
- إذا كان الرقم على يمين التنسيب أكبر من خمسة ؛ نزيد هذا الرقم بمقدار واحد، لذا إذا أردنا تقريب 436 لأقرب جزء من مائة، فلننظر إلى العدد ثلاثة في خانة الجزء من مائة.
- ثم ننظر إلى الرقم التالي، وهو الرقم ستة، ولأن الرقم ستة أكبر من الرقم خمسة، والذي تنطبق عليه قاعدة التقريب ؛ نزيد العدد من ثلاثة إلى أربعة، لذلك بعد التقريب، يصبح العدد 44.
لذلك تعلمنا في هذا المقال معكم عن الأعداد العشرية المحدودة والمتكررة، وخاصة الأعداد المحدودة والمتكررة، وكيف يمكنك تحويل أي نوع منها إلى النوع الآخر دون استخدام الآلة الحاسبة لهذه العملية.